Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D.
a/ Chứng minh rằng điểm E đối xứng với M qua AB.
b/ Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Tại sao?
c/ Cho BC = 4cm. Tính chu vi của tứ giác AEBM.
d/ Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông.
Giải:


a/ Do M là trung điểm của BC, D là trung điểm của AB ( MD là đường trung bình của (ABC ( MD // AC. Mà AC ( AB ( MD ( AB (1)
Điểm E đối xứng với điểm M qua điểm D nên D là trung điểm của ME (2)
Từ (1) và (2) ( AB là đường trung trực của ME ( điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB.
b/ Theo chứng minh trên, MD là đường trung bình của tam giác ABC (
.
Cũng theo chứng minh trên, D là trung điểm của ME ( ME //= AC ( AEMC là hình bình hành.
AEMC là hình bình hành ( MC //= AE (3)
Theo giả thiết: M là trung điểm của BC ( AE //= MB ( AEBM là hình bình hành.
Hơn nữa, AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC (
( AEBM là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau)
c/ BC = 4cm (
( chu vi của tứ giác AEBM: CV = 4.MB = 8cm.
d/ Do AEBM là hình thoi nên để AEBM là hình vuông thì điều kiện cần và đủ là AM ( MB.
Do AM là trung tuyến (cạnh BC) nên điều kiện trên ( (ABC là tam giác vuông cân (tam giác vuông có trung tuyến thuộc cạnh huyền cũng là đường cao ứng với cạnh huyền).